博弈论Game theory 是一门研究理性主体之间战略互动的数学模型的学科。 博弈论在社会科学的各个领域以及逻辑、系统理论和计算机科学中都有应用。尽管它最初关注的是零和博弈,即每个参与者的收益或损失与其他参与者的收益或损失完全平衡,但当代博弈论适用于广泛的行为关系,现在一般被称为人类、动物和计算机的逻辑决策科学。

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博弈论 Game theory essay代写

现代博弈论起源于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的双人零和博弈的混合策略中的均衡思想和相应的存在性证明。冯-诺伊曼的原始证明使用了紧凑凸集上连续映射的布劳威尔固定点定理;这种证明方法已经成为博弈论和数理经济学的标准。在冯-诺伊曼的文章之后,他在1944年与奥斯卡-莫根斯坦共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,其中也考虑了多人合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使统计学家和经济学家能够对不确定情况下的决策行为进行建模和分析。

合作博弈论Cooperative game theory

在博弈论中,对合作性和非合作性博弈进行了区分。在合作性游戏中,玩家有可能达成有约束力的协议,而在非合作性游戏中则没有这种情况。

随机变量Non-cooperative game theory

在非合作性游戏中,也被称为竞争性游戏,玩家不能达成有约束力的协议(甚至是规范性的),不管他们的目标如何。这类问题由约翰-纳什的纳什均衡解决方案来回答,就整个理论而言,纳什均衡可能是最著名的概念,因为其适用领域非常广泛。在非合作博弈中采用的理性行为的标准是个人的,被称为最大策略。

对称性游戏Symmetric game

在博弈论中,对称博弈是指这样一种博弈:玩某一特定策略的回报只取决于所采用的其他策略,而不取决于谁在玩这些策略。如果人们可以改变玩家的身份而不改变策略的回报,那么这个游戏就是对称的。对称性可以有不同的种类。有序对称博弈是指就回报的序数结构而言是对称的博弈。当且仅当一个博弈在确切的报酬方面是对称的,它才是定量对称的。伙伴关系博弈是一种对称博弈,在这种博弈中,双方对任何策略集都能获得相同的报酬。也就是说,用策略a对抗策略b的回报与用策略b对抗策略a的回报相同。

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  • 零和博弈论Zero-sum game
  • 同期游戏 Simultaneous game
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博弈论 Game theory 的历史

关于博弈数学的最早讨论可以追溯到现代数学博弈论诞生之前。吉罗拉莫-卡达诺在《机会游戏之书》(Liber de ludo aleae)中阐述了一篇关于机会游戏的论文,该书大约写于1564年,但在1663年追授出版。1650年代,帕斯卡尔和惠更斯通过对机会游戏结构的推理,发展了预期价值的概念,惠更斯在1657年发表了他对机会游戏的分析,即De ratiociniis in ludo aleæ(论机会游戏的推理)。

博弈论代写

The earliest discussions on the mathematics of games date back well before the emergence of modern mathematical game theory. Girolamo Cardano developed a treatise on games of chance in Liber de ludo aleae (Book of Games of Chance), written in about 1564 but published posthumously in 1663. In the 1650s, Pascal and Huygens developed the concept of expected value by reasoning about the structure of games of chance, and Huygens published his analysis of games of chance in De ratiociniis in ludo aleæ (On Reasoning in Games of Chance) in 1657.

博弈论 Game theory 课后作业代写

问题 1.

T Rationalizability and iterated strict dominance coincide in two-player games.

证明 .

Proof l.et $S^{m}$ denote the set of pure strategies remaining after $n$ rounds of the deletion of strictly dominated strategies, let $\Sigma^{n}$ be the corresponding mixed strategies, and let $\tilde{\Sigma}^{n}$ be the set of mixed strategies that survive $n$ rounds of the iteration in the definition of rationalizability. Clearly the set $\Sigma^{0}$ of mixed strategies corresponding to $S^{0}$ equals $\tilde{\Sigma}^{0}$. Assume that $\Sigma^{n}=\tilde{\Sigma}^{n}$. For any finite set $A$, let $\Delta(A)$ denote the space of probability distributions over A. Any $s_{i}$ in $S_{i}^{n+1}$ is undominated in $\Delta\left(S_{i}^{n+1}\right)$ given that $\sigma_{j}$ belongs to

$2_{i}^{n} ;$ otherwise it would have been eliminated. Now consider the vectors
$$
\overrightarrow{\mathrm{u}}{i}\left(\sigma{i}\right)=\left{u_{i}\left(\sigma_{i}, s_{j}\right)\right}_{s_{j} \in S_{j}^{n}}
$$
for each $\sigma_{i} \in \sum_{i}^{n}$. The set of such vectors is convex, and, by the definition of iterated dominance, $S_{i}^{n+1}$ contains exactly the $s_{i}$ such that $\overrightarrow{\mathrm{u}}{i}\left(s{i}\right)$ is undominated in this set. Fix $\tilde{s}{i}$ in $S{i}^{n+1}$. By the separating hyperplane thcorem, there exists
$$
\sigma_{j}=\left{\sigma_{j}\left(s_{j}\right)\right}_{s_{j} \in S_{j}^{n}}
$$
such that, for all $\sigma_{i} \in \sum_{i}^{n}$,
$$
\sigma_{j} \cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{d}}{i}\left(\tilde{s}{i}\right)-\overrightarrow{\mathrm{u}}{i}\left(\sigma{i}\right)\right) \geq 0
$$
(where a dot denotes the inner product), or
$$
u_{i}\left(\vec{s}{i}, \sigma{j}\right) \geq u_{i}\left(\sigma_{i}, \sigma_{j}\right) \forall \sigma_{i} \in \Sigma_{i}^{n}=\bar{\Sigma}{i}^{n} . $$ This means that $\bar{s}{i}$ is a best response in $\tilde{\Sigma}{i}^{n}$ to a strategy $\sigma{j}$ in convex hull $\left(\tilde{\Sigma}{j}^{n}\right)$. Thus, $\tilde{s}{i} \in \tilde{\Sigma}_{i}^{n+1}$, and we conclude that $\Sigma^{n+1}=\tilde{\Sigma}^{n+1}$.

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