线性代数linear algebra是数学的一个分支，涉及到向量Euclidean vector、向量空间Vector space（或线性空间）、线性变换Linear map和线性方程组System of linear equations的研究。向量空间是现代数学的核心主题；线性代数在抽象代数、几何和函数分析中被广泛使用。线性代数在解析几何中也有具体表现。
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线性代数 linear algebra essay代写
通过线性代数，人们可以完全研究所有的 “线性 “物理现象，即那些直观上没有扭曲、湍流和一般混乱现象出现的现象。甚至更复杂的现象，不仅来自物理学，也来自自然科学和社会科学，都可以通过必要的近似值来研究和追溯到线性模型。
向量空间Vector space
人们在现代数学及其应用的许多章节中都会遇到矢量空间：它们主要用于研究线性方程组和线性微分方程的解。许多情况都是用这些方程处理的：因此在统计学、建筑科学、量子力学、信号理论、分子生物学等方面都会遇到矢量空间。方程组和不等式组也在向量空间中进行研究，特别是那些服务于数学编程和一般操作研究的空间。
线性变换Linear map
在数学中，更确切地说，在线性代数中，线性变换，也被称为线性应用或线性图，是同一领域的两个向量空间之间的线性函数，即保留了向量和与标量相乘的操作的函数。换句话说，线性变换保留了线性组合。在抽象代数的语言中，线性变换是矢量空间的同构，因为它保留了描述矢量空间特征的操作。
线性方程组System of linear equations
在数学中，特别是在线性代数中，线性方程组也被称为线性系统，是一个由几个必须同时验证的线性方程组成的系统。系统的解是一个向量，其元素是构成系统的方程的解，也就是说，当替换为未知数时，它们使方程相同。
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线性代数 linear algebra 的历史
线性代数的原理是由波斯数学家Al-Khwârizmî发起的，他受到印度数学文献的启发，完成了希腊学派的工作，持续发展了几个世纪1。笛卡尔（René Descartes）开始研究这个问题，他用线性方程提出了一些几何问题，例如确定两条直线的交点，从而在以前两个独立的数学分支：代数和几何之间建立了一座桥梁。虽然他没有定义线性代数的基本概念，即矢量空间的概念，但他已经成功地使用了这个概念，这种对所操作方程的线性方面的自然使用将继续以一种特别的方式使用，基本上是基于基本的几何思想。在这一发现之后，线性代数的进展仅限于一次性的研究，如Jean d’Alembert对行列式的第一个属性的定义和分析。
Linear algebra was initiated in principle by the Persian mathematician Al-Khwârizmî who was inspired by Indian mathematical texts and who completed the work of the Greek school, which continued to develop for centuries1. It was taken up by René Descartes who posed geometric problems, such as the determination of the intersection of two lines, in terms of a linear equation, thus establishing a bridge between two previously separate branches of mathematics: algebra and geometry. Although he did not define the basic notion of linear algebra, that of vector space, he already used it successfully, and this natural use of the linear aspects of the manipulated equations will remain used in an ad hoc manner, based essentially on the underlying geometric ideas. After this discovery, progress in linear algebra was limited to one-off studies such as the definition and analysis of the first properties of determinants by Jean d’Alembert.
线性代数 linear algebra 课后作业代写
In a vector space, the span of any subset is a subspace.
Proof. Call the subset $S$. If $S$ is empty then by definition its span is the trivial subspace. If $S$ is not empty then by Lemma $2.9$ we need only check that the span $[S]$ is closed under linear combinations. For a pair of vectors from that span, $\vec{v}=c_{1} \vec{s}{1}+\cdots+c{n} \vec{s}{n}$ and $\vec{w}=c{n+1} \vec{s}{n+1}+\cdots+c{m} \vec{s}{m}$, a linear combination $$ \begin{aligned} p \cdot\left(c{1} \vec{s}{1}+\cdots+c{n} \vec{s}{n}\right)+r & \cdot\left(c{n+1} \vec{s}{n+1}+\cdots+c{m} \vec{s}{m}\right) \ =& p c{1} \vec{s}{1}+\cdots+p c{n} \vec{s}{n}+r c{n+1} \vec{s}{n+1}+\cdots+r c{m} \vec{s}{m} \end{aligned} $$ ( $p, r$ scalars) is a linear combination of elements of $S$ and so is in $[S]$ (possibly some of the $\vec{s}{i}$ ‘s forming $\vec{v}$ equal some of the $\vec{s}_{j}$ ‘s from $\vec{w}$, but it does not matter).
The converse of the lemma holds: any subspace is the span of some set, because a subspace is obviously the span of the set of its members. Thus a subset of a vector space is a subspace if and only if it is a span. This fits the intuition that a good way to think of a vector space is as a collection in which linear combinations are sensible.
Taken together, Lemma $2.9$ and Lemma 2.15 show that the span of a subset $S$ of a vector space is the smallest subspace containing all the members of $S$.
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