微积分Calculus是数学分析的创始分支，通过连续性和极限的概念研究一个函数的 “局部行为”，几乎在所有的数学和物理领域以及一般的科学中都有应用。它所适用的函数是实变或复变。通过极限的概念，无穷小微积分定义并研究序列或数列的收敛性、连续性、导数和积分的概念。
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微积分 Calculus essay代写
微积分是以代数、分析几何和三角学为基础。在属于它的概念中，它所使用的概念包括连续和系列、公制空间、实变函数、解析函数。其分支或产品是积分理论和测量理论、特殊函数（来自指数、对数和三角函数）以及谐波分析。
函数极限Limit of a function
极限的概念在现代微积分中有许多应用。特别是，许多关于连续性的定义都采用了极限的概念：大致上，如果一个函数的所有极限都与该函数的值一致，那么该函数就是连续的。极限的概念也出现在导数的定义中：在单变量微积分中，这是一个函数图形的正切线斜率的极限值。
无穷小量Infinitesimal
无限小数使解决一般问题成为可能，如物理学中的瞬时速度问题和几何学中的曲线切线问题，这两个问题都被视为无限小数之间的比率，又称导数。
微分学Differential calculus
微分学的主要研究对象是函数的导数，相关的概念，如微分，以及它们的应用。一个函数在一个选定的输入值的导数描述了该函数在该输入值附近的变化率。寻找导数的过程被称为微分。从几何学上讲，某一点的导数是该点的函数图形的切线的斜率，前提是导数存在并在该点定义。对于单实变的实值函数，函数在某一点的导数通常决定了该点的函数的最佳线性近似。
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- 线性近似 Linear approximation
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微积分 Calculus 的历史
在公元前4世纪和3世纪的希腊和希腊化的科学世界中，无穷小微积分最初由Eudoxus（穷举法）、Euclid和Anaxagoras发展，直到阿基米德达到完全成熟。
随着后来地中海地区科学的逐渐衰落，我们不得不等待印度数学家阿里亚巴塔（476-550）、巴斯卡拉（1114-1185）、马达瓦（1350-1425）和喀拉拉学派的工作，才有了诸如被称为罗尔定理的定理、趋于无穷大的变量的极限过渡和某些系列的操作等创新。
Infinitesimal calculus was initially developed in the Greek and Hellenistic scientific world of the 4th and 3rd centuries BC by Eudoxus (method of exhaustion), Euclid and Anaxagoras until it reached full maturity with Archimedes.
With the subsequent gradual decay of science in the Mediterranean area, we have to wait for the work of the Indian mathematicians Aryabhata (476-550), Bhaskara (1114-1185), Madhava (1350-1425) and the Kerala school to have innovations such as the theorem known as Rolle’s theorem, the transition to the limit for a variable tending to infinity and the manipulation of certain series.
微积分 calculus 课后作业代写
A bacteria culture has an initial population of 500. After
4 hours the population has grown to 1000. Assuming the
culture grows at a rate proportional to the size of the population, find a function representing the population size after t
hours and determine the size of the population after 6 hours.
Solution
Let $y(t)$ represent the size of the bacteria population after $t$ hours. Since the rate of growth of the population is proportional to the population size, it follows from the above discussion that
$$
\begin{aligned}
&y(t)=y_{0} e^{k t} \
&y(t)=500 e^{k t}
\end{aligned}
$$
Since $y(4)=1000$, it follows that
$$
\begin{aligned}
1000 &=500 e^{4 k} \
2 &=e^{4 k} \
4 k &=\ln 2
k &=\frac{1}{4} \ln 2
\end{aligned}
$$
Thus
$$
\begin{aligned}
y(t) &=500 e^{\left(\frac{1}{4} \ln 2\right) t} \
&=500 e^{\frac{t}{4} \ln 2} \
&=500\left(e^{\ln 2}\right)^{\frac{t}{4}} \
&=500(2)^{\frac{t}{4}}
\end{aligned}
$$
To determine the population size after 6 hours $(t=6)$, we compute $y(6)=500(2)^{1.5} \approx 1414$
Exponential decay occurs when a substance deteriorates with time. If the rate of decay is proportional to the amount of substance present, its mass satisfies the equation
$$
\frac{d y}{d t}=-k y
$$
In this equation, $k$ is a positive constant. The minus sign preceding it indicates that the rate of change is negative, i.e., the mass is decreasing. Solving this equation in the manner described above, we are led to the solution $y=y_{0} e^{-k t}$
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