抽象代数Abstract algebra是数学的一个分支，涉及到对代数结构的研究，如群、环和场。它从研究 “无结构的集合”（或集合本身）开始，分析那些逐渐变得越来越有结构的集合，即被赋予一个或多个组成规律。
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抽象代数Abstract algebra essay代写
抽象代数 “这一表述是为了将这一研究领域与 “初等代数 “区分开来，后者涉及使用实数和复数的代数公式和表达式的操作规则。从历史上看，代数结构出现在数学的其他领域，在那里它们被公理化地指定；后来，它们在抽象代数中被作为自己的对象来研究。由于这个原因，抽象代数与几乎所有的数学分支都有富有成效的联系。
代数方程Algebraic equation
在数学中，特别是在高等代数中，高阶代数方程是一个形式为P(x)=0的方程，其中P(x)是一个具有整数系数的非零、非常数多项式，其度数假定为n≥2.12 其中x表示一个满足它的未知实数或复数，即替换成P(x)的结果为零。任何满足方程的数字都被称为根；解方程的问题意味着找到它的所有根。当多项式的度数为n时，相应的方程被称为度数为n。
无穷小量System of linear equations
在数学中，特别是在线性代数中，线性方程组，也被称为线性系统，是一个由几个必须同时验证的线性方程组成的系统。系统的解是一个向量，其元素是构成系统的方程的解，也就是说，当替换为未知数时，它们使方程相同。
数论Number theory
传统上，数论是纯数学的一个分支，涉及整数的属性，包含许多开放性的问题，甚至非数学家也能理解。更广泛地说，该学科已开始处理从整数研究中自然产生的一类更广泛的问题。
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抽象代数 Abstract algebra 的历史
许多抽象代数的教科书都是从各种代数结构的公理定义开始的，然后再建立它们的属性。这就造成了一个错误的印象，即在代数中公理首先出现，然后作为进一步研究的动力和基础。历史发展的真正顺序几乎完全相反。例如，十九世纪的超复数有运动学和物理学的动机，但对理解力有挑战。大多数现在被认为是代数的一部分的理论，开始时都是数学各分支的不同事实的集合，获得了一个共同的主题，作为一个核心，各种结果都围绕着它进行，最后在一套共同概念的基础上得到了统一。在群论的历史中，可以看到这种渐进式综合的典型例子。
Many textbooks on abstract algebra begin with axiomatic definitions of various algebraic structures and then proceed to establish their properties. This creates the false impression that in algebra, axioms came first and then served as the motivation and basis for further study. The true order of historical development has been almost exactly the opposite. For example, the hypercomplex numbers of the 19th century were kinematically and physically motivated, but they defied understanding. Most of the theories that are now recognised as parts of algebra began as collections of disparate facts from various branches of mathematics, acquired a common theme that served as the core around which the various results were grouped, and were finally unified on the basis of a common set of concepts. An archetypal example of this progressive synthesis is the history of group theory.
抽象代数 Abstract algebra 课后作业代写
If $x \in \widehat{Q}{p}$ and $|x|{p} \leqq p^{-m}$, then $\left|x-t p^{m}\right|{p}{p}=p^{-m}$, then $t \neq 0$.
Proof. If $|x|{p}{p}=p^{-m}$. Since $\mathbb{Q}$ is dense in $\widehat{\mathbb{Q}}{ }{p}$ we have $|x-y|{p}<p^{-m}$ for some $y \in \mathbb{Q}$. Then $|y|{p}=p^{-m}$ and $y=p^{m} k / \ell$, where $m \in \mathbb{Z}$ and $p$ does not divide $k$ or $\ell$. Since $\mathbb{Z}{p}$ is a field we have $k \equiv t \ell(\bmod p)$ for some $t \in \mathbb{Z}$, and can arrange that $0 \leqq t<p$. Then $0<t<p$, since $p$ does not divide $t$, and $\left|y-t p^{m}\right|{p}=\left|p^{m}(k-t \ell) / \ell\right|{p}<p^{-m}$, since $p$ divides $k-t \ell$ but not $\ell$. Hence $\left|x-t p^{m}\right|{p}{p}<p^{-m}$, where $0 \leqq u<p$, then $\left|t p^{m}-u p^{m}\right|_{p}<p^{-m}, p$ divides $t-u$, and $t=u$. We now prove Proposition 4.4. Let $|x|{p}=p^{-m}$. By $4.5,\left|x-x{m} p^{m}\right|{p} \leqq$ $p^{-(m+1)}$ for some unique integer $0{m}<p$; hence
$$
\left|x-x_{m} p^{m}-x_{m+1} p^{m+1}\right|_{p} \leqq p^{-(m+2)}
$$
for some unique integer $0 \leqq x_{m+1}<p$; repetition yields unique $0 \leqq x_{n}<p$ such that $\left|x-\sum_{m} \leq n \leq r x_{n} p^{n}\right|{p}m$. Then the series $\sum{n} \geq_{m} x_{n} p^{n}$ converges to $x$ in $\widehat{\mathbb{Q}}{p}$. If $x \in \widehat{\mathbb{Z}}{p}$, then $m \geqq 0$ and $\sum_{n \geq m} x_{n} p^{n}$ is a power series, $\sum_{n \geq 0} x_{n} p^{n}$, with $x_{n}=0$ for all $n<m$.
Assume that $x=\sum_{n \geq \ell} y_{n} p^{n}$, where $0 \leq y_{n}\ell} y_{n} p^{n}\right|{p}=\lim {r \rightarrow \infty}\left|\sum_{\ell<n \leq r} y_{n} p^{n}\right|{p} \leqq p^{-(\ell+1)}$ and $|x|{p}=\left|y_{\ell} p^{\ell}\right|{p}=$ $p^{-\ell}$. Hence $\ell=m$. Uniqueness of $x{n}$ is proved by induction: if $x_{n}=y_{n}$ for all $n<r$ (for instance, if $r=m$, or, in case $x \in \widehat{\mathbb{Z}}{p}, r=0$ ), then $\left|x-\sum{m \leq n \leq r} y_{n} p^{n}\right|{p}{r}=y_{r}$.
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