微分方程代写

在数学分析中，微分方程Differential equation是一个将未知函数与其导数结合起来的方程：如果函数只有一个变量，而方程中只有普通导数，则称为普通微分方程；另一方面，如果函数有几个变量，而方程中含有函数本身的偏导数，则称为偏导方程。

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微分方程Differential equation essay代写

微分方程的研究主要包括研究其解（满足每个方程的函数集合），以及其解的属性。只有最简单的微分方程可以用明确的公式求解；然而，一个给定的微分方程的解的许多属性可以在不精确计算的情况下确定。

常微分方程ordinary differential equation

在数学中，常微分方程（简称EDO，或ODE，来自英文缩写Ordinary Differential Equation）是一个涉及一个变量函数及其任何阶次导数的微分方程：它是一个广泛用于物理学和许多其他科学领域的数学对象；例如，一个动态系统是由常微分方程描述。

贝塞尔函数Bessel functions

在数学分析中，圆柱形谐波，首先由丹尼尔-伯努利定义，后来由贝塞尔重新命名，他们的名字有时被赋予（在集合中不正确，他们实际上是他们的一个子类），是贝塞尔方程的典范解

偏微分方程partial differential equation

在数学分析中，偏微分方程又称偏导方程（简称EDP，或常称PDE，来自英文缩写Partial Differential Equation），是一个涉及几个独立变量的未知函数的偏导的微分方程。 在其中，函数是通过它本身和它的部分导数之间的关系间接描述的，而不是明确写出函数。这种关系必须是局部的，也就是说，它必须在同一点上连接函数和它的导数。方程的经典解（或经典意义上的解）是方程中表达的所有独立变量的函数，并拥有所有必要的导数，通过验证方程的准时性来理解这种关系。

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  • 线性微分方程 Linear differential equation
  • 拉普拉斯方程 Laplace’s equation
  • KdV方程 Korteweg-De Vries equation
  • 时滞微分方程 Delay differential equation
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微分方程 Differential equation 的研究

然而，这些关系很少有可能有解的分析形式，或用基本函数来表达，而是研究解的存在和唯一性以及它们在特别感兴趣的情况下的行为，通常与微分方程所描述的物理系统的情况有关。微分方程的所有解的集合被称为给定微分方程的一般积分。 微分方程的研究，正如数学中经常出现的情况一样，受到分析具体问题的需要的强烈影响；然后它涉及到各种领域，如线性代数、数值分析和函数分析。

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However, these are relations of which it is rarely possible to have an analytical form of the solution, or an expression of it in terms of elementary functions, but rather the existence and uniqueness of the solutions and their behavior in contexts of particular interest are studied, usually in relation to the situation of a physical system described by the differential equation. The set of all the solutions of a differential equation is called the general integral of the given differential equation.The study of differential equations, as is often the case in mathematics, has been strongly influenced by the need to analyze concrete problems; it then involves several areas, such as linear algebra, numerical analysis, and functional analysis.

微分方程 Differential equation 课后作业代写

问题 1.

Suppose $U=\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}$ and for every $T>0$ there are constants $M(T), L(T)$ such that
$$
|f(t, x)| \leq M(T)+L(T)|x|, \quad(t, x) \in[-T, T] \times \mathbb{R}^{n}
$$
Then all solutions of the IVP are defined for all $t \in \mathbb{R}$.

证明 .

Proof. Using the above estimate for $f$ we have $\left(t_{0}=0\right.$ without loss of generality)
$$
|\phi(t)| \leq\left|x_{0}\right|+\int_{0}^{t}(M+L|\phi(s)|) d s, \quad t \in[0, T] \cap I
$$
Setting $\psi(t)=\frac{M}{L}+|\phi(t)|$ and applying Gronwall’s inequality (Lemma 2.7) shows
$$
|\phi(t)| \leq\left|x_{0}\right| \mathrm{e}^{L T}+\frac{M}{L}\left(\mathrm{e}^{L T}-1\right)
$$
Thus $\phi$ lies in a compact ball and the result follows by the previous lemma.
Again, let me remark that it suffices to assume
$$
|f(t, x)| \leq M(t)+L(t)|x|, \quad x \in \mathbb{R}^{n}
$$
where $M(t), L(t)$ are locallv integrable.

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