实分析Real analysis是分析学的一个分支，研究实数的集合和实变数的函数。它研究的概念包括：序列及其极限、连续性、推导、积分和函数序列。
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实分析Real analysis essay代写
实分析是数学分析的一个领域，研究序列、极限、连续性、微分和积分的概念。由于其性质，实数分析仅限于以实数作为工作工具。
实数的构造Construction of the real numbers
在数学中，实数是以各种等价方式构建的。其中，最著名的是使用Dedekind截面和Cauchy继承。这些结构中的每一个都把实数定义为有理数集的扩展。
贝塞尔函数Real number
实数的正式定义是19世纪最重要的发展之一。今天最广泛采用的定义有：有理数的考奇连续的等价类、戴德金段、”十进制表示 “一词的重新定义以及作为单一有序完整阿基米德场的公理定义。
序拓扑Order topology
在数学中，秩序拓扑是一种可以定义在任何完全有序集合上的特定拓扑。它是实数的拓扑学对任意完全有序集合的自然概括。
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实分析Real analysis 的研究
实物分析是数学的一个领域，它的发展是为了使数和函数的研究正规化，并研究重要的概念，如极限和连续性。这些概念是微积分及其应用的基础。实物分析已经成为许多应用领域中不可或缺的工具。特别是，它的许多关键概念，如收敛性、紧凑性和凸性，已经成为经济理论的核心。
Real Analysis is an area of mathematics that was developed to formalise the study of numbers and functions and to investigate important concepts such as limits and continuity. These concepts underpin calculus and its applications. Real Analysis has become an indispensable tool in a number of application areas. In particular, many of its key concepts, such as convergence, compactness and convexity, have become central to economic theory.
实分析Real analysis 课后作业代写
Let $a_{n} \rightarrow a$ and $b_{n} \rightarrow$ b. Then
(i) $a_{n}+b_{n} \rightarrow a+b$
(ii) $r a_{n} \rightarrow r a$ for any $r \in \mathbb{R}{\text {. }}$ (iii) $a{n} b_{n} \rightarrow a b$
(iv) if $a \neq 0$, then there is $m \in \mathbb{N}$ such that $a_{n} \neq 0$ for all $n \geq m$, and
$$
\frac{1}{a_{n}} \rightarrow \frac{1}{a}
$$
Proof. Let $\epsilon>0$ be given. There are $n_{1}, n_{2} \in \mathbb{N}$ such that
$$
\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \text { for all } n \geq n_{1} \quad \text { and } \quad\left|b_{n}-b\right|<\epsilon \text { for all } n \geq n_{2} \text {. }
$$
(i) Let $n_{0}:=\max \left{n_{1}, n_{2}\right}$. Then for all $n \geq n_{0}$,
$$
\left|a_{n}+b_{n}-(a+b)\right| \leq\left|a_{n}-a\right|+\left|b_{n}-b\right|<\epsilon+\epsilon=2 \epsilon .
$$
(ii) Let $n_{0}:=n_{1}$. Then for all $n \geq n_{0}$,
$$
\left|r a_{n}-r a\right|=|r|\left|a_{n}-a\right|<|r| \epsilon .
$$
(iii) By part (ii) of Proposition 2.2, there is $\alpha \in \mathbb{R}$ such that $\left|a_{n}\right| \leq \alpha$ for all $n \in \mathbb{N}$. Let $n_{0}:=\max \left{n_{1}, n_{2}\right}$. Then for all $n \geq n_{0}$,
$$
\begin{aligned}
\left|a_{n} b_{n}-a b\right| &=\left|a_{n}\left(b_{n}-b\right)+\left(a_{n}-a\right) b\right| \
& \leq\left|a_{n}\right|\left|b_{n}-b\right|+\left|a_{n}-a\right||b| \
& \leq \alpha \epsilon+\epsilon|b|=(\alpha+|b|) \epsilon
\end{aligned}
$$
(iv) Since $|a|>0$, there is $m \in \mathbb{N}$ such that $\left|a_{n}-a\right|<|a| / 2$ for all $n \geq m$. But then $\left|a_{n}\right| \geq|a|-\left|a-a_{n}\right|>|a| / 2$ for all $n \geq m$. Let $n_{0}:=\max \left{n_{1}, m\right}$. Then for all $n \geq n_{0}$, we have $a_{n} \neq 0$ and
$$
\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a}\right|=\frac{\left|a-a_{n}\right|}{\left|a_{n}\right||a|}<\frac{2 \epsilon}{|a|^{2}} . $$ Since $\epsilon>0$ is arbitrary, the desired conclusions follow.
With notation and hypotheses as in the above proposition, a combined application of parts (i) and (ii) of Proposition $2.3$ shows that $a_{n}-b_{n} \rightarrow a-b$. Likewise, a combined application of parts (iii) and (iv) of Proposition $2.3$ shows that if $b \neq 0$, then $a_{n} / b_{n} \rightarrow a / b$. Further, given any $m \in \mathbb{Z}$, successive applications of part (iii) or part (iv) of Proposition $2.3$ show that $a_{n}^{m} \rightarrow a^{m}$, provided $a \neq 0$ in case $m<0$.
Next, we show how the order relation on $\mathbb{R}$ and the operation of taking the $k$ th root are preserved under convergence.
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