复分析Complex analysis（更确切地说，是复变函数理论）是数学分析的一个分支，它将无穷小微积分的概念应用于复数函数，即以复数集为域和子域的定义函数。
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复分析 Complex analysis essay代写
复数分析的主角是全形函数：一个复数函数，其导数概念的定义与一般实数函数的定义相同。这个概念的一个延伸是子午线函数。复分析在数学的众多分支中极为有用，如数论和代数几何；它在物理学和工程学中也有相当多的应用。
数学模型Mathematical model
数学模型是对自然现象的定量表示。[1]与科学中使用的所有其他模型一样，其目的是尽可能准确地表示一个给定的物体、一个真实的现象或一组现象（物理系统、化学系统或生物系统的数学模型）。通常情况下，模型是对现实的一种表述，它并不完美，但仍是忠实的，即对要进行的分析或预测有意义。
复数函数Complex number functions
在数学中，复变函数被定义为在复数子集上定义的函数，其值也在该子集上。通常，复数变量用$z$表示，其实部用$x$表示，其虚部用$y$表示，因此可以写成$z=x+i y$。
复平面Complex plane
复数分析中，复平面（也叫阿冈-高斯平面）是复数集合的二维表示。它可以被认为是一个改良的笛卡尔平面，实部在X轴上表示，因此称为实轴，虚部在Y轴上表示，因此称为虚轴
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复分析 Complex analysis 的研究
但是，在复数情况下，线性函数由复数乘法和平移（后者由和表示）组成：后者是一个等价物，而前者总是一个轮回几何，即复数平面内的旋转（另一个等价物）和一个同位数的组成。因此，在线性近似中起作用的所有三个变换都是同构或等效的，通过相互组合，特别是保存角度（在这种情况下，复数导数为非零的假设是至关重要的：否则线性函数的乘法项，即负责滚装的同构，将是无效的，无法保存角度）
But a linear function, in the complex case, consists of the composition of a complex multiplication and a translation (the latter represented by a sum): the latter is an isometry while the former is always a roto-homothety, that is, the composition of a rotation in the complex plane (another isometry) and a homothety. Thus, all three transformations that come into play in the linear approximation are homoteties or isometries that, by composing with each other, conserve, in particular, angles (the assumption made that the complex derivative is non-zero is essential here: otherwise the multiplicative term of the linear function, responsible for the roto-omotetia, would be zero and unable to conserve angles).
复分析 Complex analysis课后作业代写
Evaluate the following integrals, justifying your procedures. For c) and d) you should also state why the integral is well defined (i.e., independent of the path taken).
(a) $\int_{C} \frac{2 d z}{z^{2}-1}$, where $C$ is the circle with radius $1 / 2$, centre 1 , positively oriented;
(b) $\int_{C}\left(e^{z}+\frac{1}{z}\right) d z$, where $\mathrm{C}$ is the lower half of the circle with radius 1 , centre 0 , negatively oriented;
Solution. (a) Notice that
$$
\frac{2}{z^{2}-1}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1}
$$
Thus
$$
\int_{C} \frac{2}{z^{2}-1} d z=\int_{C} \frac{1}{z-1} d z-\int_{C} \frac{1}{z+1} d z
$$
On the one hand,
$$
\int_{C} \frac{1}{z-1} d z=2 \pi i
$$
by Cauchy integral formula, $f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C} \frac{f(z)}{z-z_{0}} d z$.
On the other hand, since $1 /(z+1)$ is analytic on and inside $C$, then
$$
\int_{C} \frac{1}{z+1} d z=0
$$
by Cauchy’s Theorem. Therefore,
$$
\int_{C} \frac{2}{z^{2}-1} d z=2 \pi i
$$
(b) Notice that the integrand $f(z)=e^{z}-1 / z$ is analytic on $C$. The function
$$
F(z)=e^{z}-\log z
$$
serves as an antiderivative of $f(z)$. Here $\log z$ is a branch of the logarithm chosen with the branch cut on the positive imaginary axis. That is,
$$
\log z=\ln r+i \theta, \quad\left(r>0, \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{5 \pi}{2}\right) .
$$
Thus
$$
\int_{C}\left(e^{z}-\frac{1}{z}\right) d z=\left.\left(e^{z}-\log z\right)\right|_{1} ^{-1}=\frac{1}{e}-\pi i-e+2 \pi i=\frac{1}{e}-e+\pi i .
$$
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