泛函分析代写

函数分析是数学分析的一个领域，一般处理具有某种内部结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间和定义在这种空间上的线性函数，这些函数将空间中的元素相互联系起来。

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泛函分析 Functional Analysis代写

因此，这一概念最初是从傅里叶变换等变换的研究以及微分和积分方程的研究中概括出来的。函数 “一词来自变化微积分，表示一个参数为函数（函数的函数）的函数。它在更广泛的意义上的使用是归功于维托-沃特拉

向量空间Vector space

在线性代数中，向量空间（或也称为线性空间）是由一个非空集合、一个内部运算（称为和，为集合中的元素定义）和一个外部运算（称为标量的乘积，在该集合和另一个集合之间定义，有体结构）创建的代数结构，满足8个基本属性。

函数空间Function space

在数学中，函数空间是指从一个集合X到一个集合Y的一组函数，具有一定的类别。它被称为空间，因为在大多数应用中，它是一个拓扑空间或一个矢量空间。函数空间出现在数学的多个领域。

图形重写Hilbert space

在数学中，希尔伯特空间（以大卫-希尔伯特命名）允许将线性代数和微积分的方法从（有限维）欧几里得向量空间推广到可能是无限维的空间。希尔伯特空间是一个配有内积的向量空间，内积定义了一个距离函数，对它来说是一个完整的度量空间。希尔伯特空间在数学和物理学中自然而然地经常出现，通常作为函数空间。

其他相关科目课程代写：

  • 巴拿赫空间 Banach space
  • 不变子空间 Invariant subspace
  • 标准正交基 Orthonormal basis
  • 可测函数 Measurable function
  • 绝对值 Absolute value

泛函分析 Functional Analysis 的研究

在现代看来，函数分析被看作是对实数或复数上完整规范空间的研究。这样的空间被称为Banach空间。一个重要的例子是希尔伯特空间，其中规范是由内积引起的。这些空间在量子力学的数学表述以及偏微分方程的研究中具有根本的重要性。更广泛地说，函数分析包括对弗雷谢空间和其他没有规范的拓扑向量空间的研究。

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In the modern view, functional analysis is seen as the study of complete normed spaces on reals or complexes. Such spaces are called Banach spaces. An important example is a Hilbert space, where the norm is induced by the inner product. These spaces are of fundamental importance in the mathematical formulation of quantum mechanics, and in the study of partial differential equations. More generally, functional analysis includes the study of Fréchet spaces and other topological vector spaces that do not have a norm.

泛函分析 Functional Analysis课后作业代写

问题 1.

If $(X, \Sigma, \mu)$ be a measure space, then $\mathbb{L}^{\infty}(X)$ is a Banach space with the norm ||$_{\infty}$

证明 .

Proof. Note that if $f \in \mathbb{L}^{\infty}$, then $f$ is bounded almost everywhere, and so by the discussion above Definition 4.5, $\mathbb{L}^{\infty}$ is closed under addition. The other properties of vector spaces are straightforward to establish for $\mathbb{L}^{\infty}$.

For the norm we only verify that triangle inequality: Let $B, C \in \mathbb{R}$ such that $f \leq B$ almost everywhere and $g \leq C$ almost everywhere. Then $f+g \leq B+C$ almost everywhere, so that $|f+g|{\infty} \leq B+C$. Now we take the infimum over all such $B$ and $C$ to get that $|f+g|{\infty} \leq|f|_{\infty}+|g|_{\infty}$

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