在物理学、数学和工程学中，特别是在系统理论中，动态系统Dynamical system是一个数学模型，代表一个具有有限自由度的物体（系统），它根据确定性规律随时间演变；通常，动态系统由微分方程分析表示，然后用各种形式表达，并由相位空间中的矢量识别，即系统的状态空间，其中 “状态 “是一个术语，表示一组物理量，称为状态变量，其实际值 “描述 “系统在某一瞬间的情况。
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动力系统 Dynamical system代写
因此，这一概念最初是从傅里叶变换等变换的研究以及微分和积分方程的研究中概括出来的。函数 “一词来自变化微积分，表示一个参数为函数（函数的函数）的函数。它在更广泛的意义上的使用是归功于维托-沃特拉
常微分方程Ordinary differential equation
在数学中，常微分方程（简称EDO，或ODE，来自英文缩写Ordinary Differential Equation）是一个涉及一个变量函数及其任何阶次导数的微分方程：它是一个广泛用于物理学和许多其他科学领域的数学对象；例如，一个动态系统是由常微分方程描述。
保测动力系统Measure-preserving dynamical system
在数学中，保测动态系统是动态系统的抽象表述中的一个研究对象，特别是遍历理论。计量保全系统服从于Poincaré递归定理，是保守系统的一个特例。它们为广泛的物理系统提供了形式上的数学基础，特别是经典力学中的许多系统（尤其是大多数非耗散系统）以及热力学平衡中的系统。
遍历理论Ergodic theory
遍历理论（Ergodic theory）主要涉及对动态系统的平均、长期行为的数学研究。
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动力系统 Dynamical system的研究
动力系统的研究是数学和物理学中最古老和最重要的领域之一。 它是在经典力学的框架内以及由拉格朗日力学和哈密尔顿力学发展的重述中用来描述机械系统的数学模型，并存在于许多工程领域，如自动化和系统工程。其应用很多，从电路到热力学系统。
The study of dynamical systems represents one of the oldest and most important areas of mathematics and physics; it is a mathematical model used to describe mechanical systems within the framework of classical mechanics and in its reformulation developed by Lagrangian and Hamiltonian mechanics, and is found in many areas of engineering, such as automatic and systems engineering. Applications are many, ranging from electrical circuits to thermodynamic systems.
动力系统 Dynamical system课后作业代写
The function
$$
V(\mathbf{f})=z(\mathbf{f})-\min z(\mathbf{f})
$$
is a Lyapunov function (LaSalle, 1960; Strogatz, 1994) of the dynamical system at UE. That is
- $V(\mathbf{f})>0, \forall \mathbf{f} \in \mathcal{F}$ and $\mathbf{f}$ is not $a U E$
- $V(\mathbf{f})=0$ if and only if $\mathbf{f} \in \mathcal{E}$, where $\mathcal{E}$ is the set of $U E$;
- – grad $V(\mathbf{f}) \cdot \mathbf{J}(\mathbf{f}) \leq 0$ if $\mathbf{f}$ is not a $U E$.
This is equivalent to saying that the BMW objective function can be considered the potential energy of the dynamical system (8).
Proof. From the definitions of the Lyapunov function V (f) in (9) and the BMW objective
function z(f) in (4), we can see that the first two statements are correct. We prove the third
statement as follows.
We first compute the gradient of $V(\mathbf{f})$ with respect to $\mathbf{f}$, whose $(r s, k)$ th element is $(\forall k, r, s)$
$$
\frac{\partial V(\mathbf{f})}{\partial f_{k}^{r s}}=\frac{\partial z(\mathbf{x})}{\partial f_{k}^{r s}}=\sum_{a} t_{a}\left(x_{a}\right) \delta_{a, k}^{r s}=c_{k}^{r s} .
$$
Therefore,
$$
-\operatorname{grad} V(\mathbf{f}) \cdot \mathbf{J}(\mathbf{f})=\sum_{r s} \sum_{k} \frac{\partial V}{\partial f_{k}^{r s}} \dot{f}{k}^{r s}=-\sum{r s} \sum_{k} c_{k}^{r s} f_{k}^{r s} \sum_{j}\left(c_{k}^{r s}-c_{j}^{r s}\right) f_{j}^{r s},
$$
which leads to
$$
-\operatorname{grad} V(\mathbf{f}) \cdot \mathbf{J}(\mathbf{f})=-\sum_{r s} \sum_{k} \sum_{j>k}\left(c_{k}^{r s}-c_{j}^{r s}\right)^{2} f_{k}^{r s} f_{j}^{r s} \leq 0
$$
since all route flows are non-negative. From the definition of equilibria, we can see that $-\operatorname{grad} V(\mathbf{f}) \cdot \mathbf{J}(\mathbf{f})=0$ if and only if $\mathbf{f}$ is an equilibrium, and $-\operatorname{grad} V(\mathbf{f}) \cdot \mathbf{J}(\mathbf{f})<0$ for non-equilibrium states. Therefore, $V(\mathbf{f})$ is a Lyapunov function of the dynamical system (8).
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