代数几何algebraic geometry是数学的一个分支，经典地研究多变量多项式的零点。现代代数几何的基础是使用抽象代数技术，主要来自换元代数，以解决有关这些零点集的几何问题。
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代数几何 algebraic geometry代写
代数几何的基本研究对象是代数品种，它是多项式方程组解的几何表现形式。研究最多的一类代数品种的例子是：平面代数曲线，包括直线、圆、抛物线、椭圆、双曲线、像椭圆曲线一样的立方曲线，以及像勒芒斯和卡西尼椭圆一样的四方曲线。如果平面上的一个点的坐标满足一个给定的多项式方程，那么它就属于一条代数曲线。基本的问题包括研究特别感兴趣的点，如奇异点、拐点和无穷大的点。更高级的问题涉及曲线的拓扑学和不同方程所给的曲线之间的关系。
代数簇 Algebraic variety
代数品种是一个多项式家族的零点集合，构成代数几何学的主要研究对象。通过代数品种的概念，有可能在代数和几何之间建立一种联系，这使得几何问题可以用代数术语重新表述，反之亦然。这种联系主要是基于这样一个事实，即在一个变量中的复数多项式完全由其零点决定：事实上，希尔伯特的零点定理使我们有可能在代数品种和多项式环的理想之间建立一种对应关系。
代数曲线 Algebraic curve
在数学中，仿生代数平面曲线是一个两变量的多项式的零集。投射代数平面曲线是三变量同构多项式在投射平面上的零集。一条仿生代数平面曲线可以通过同质化其定义多项式来完成投射代数平面曲线。反过来说，一个同构方程h(x, y, t)=0的投影代数平面曲线可以被限制为方程h(x, y, 1)=0的仿生代数平面曲线。这两种操作是互为倒数的；因此，代数平面曲线这个短语经常被使用，而没有明确说明是仿生还是投影的情况。
遍历理论 Affine variety
在代数几何学中，一个代数闭域k上的仿生品种或仿生代数品种是仿生空间k中某个系数在k中的n个变量的有限多项式家族的零焦点，该家族产生一个质理想。如果去除生成质理想的条件，这样的集合就被称为（仿生）代数集。一个仿生品种的Zariski开放子变量被称为准仿生品种。
其他相关科目课程代写：
- 扎里斯基拓扑 Zariski topology
- 代数簇的态射 Morphism of algebraic varieties
- 伽罗瓦连接 Galois connection
- 闭包算子 Closure operator
- 希尔伯特基定理 Hilbert’s basis theorem
代数几何 algebraic geometry的研究
20世纪代数几何学的主流发展是在抽象代数框架内进行的，人们越来越强调代数品种的 “内在 “属性，而不依赖于将品种嵌入环境坐标空间的任何特定方式；这与拓扑学、微分和复数几何学的发展相类似。这种抽象代数几何学的一个关键成就是格伦迪克的方案理论，它允许人们使用舍理论来研究代数品种，其方式与它在研究微分和分析流形中的使用非常相似。这是通过扩展点的概念得到的：在经典代数几何中，一个仿生品种的点可以通过希尔伯特的Nullstellensatz与坐标环的一个最大理想相识别，而相应的仿生方案的点都是这个环的素理想。这意味着这种方案的一个点可以是一个通常的点，也可以是一个子变量。这种方法也使得主要关注复数点的经典代数几何学的语言和工具与代数数论的语言和工具得以统一。怀尔斯对称为费马最后定理的长期猜想的证明就是这种方法的力量的一个例子。
Much of the development of the mainstream of algebraic geometry in the 20th century occurred within an abstract algebraic framework, with increasing emphasis being placed on “intrinsic” properties of algebraic varieties not dependent on any particular way of embedding the variety in an ambient coordinate space; this parallels developments in topology, differential and complex geometry. One key achievement of this abstract algebraic geometry is Grothendieck’s scheme theory which allows one to use sheaf theory to study algebraic varieties in a way which is very similar to its use in the study of differential and analytic manifolds. This is obtained by extending the notion of point: In classical algebraic geometry, a point of an affine variety may be identified, through Hilbert’s Nullstellensatz, with a maximal ideal of the coordinate ring, while the points of the corresponding affine scheme are all prime ideals of this ring. This means that a point of such a scheme may be either a usual point or a subvariety. This approach also enables a unification of the language and the tools of classical algebraic geometry, mainly concerned with complex points, and of algebraic number theory. Wiles’ proof of the longstanding conjecture called Fermat’s Last Theorem is an example of the power of this approach.
代数几何 algebraic geometry课后作业代写
Show that the line associated to $a_{1}=1, b_{1}=2, c_{1}=3$ is the same line as that associated to $a_{2}=-2, b_{2}=-4, c_{2}=-6$.
Solution Let $\mathcal{L}{1}=\left{(x: y: z) \in \mathbb{P}^{2}: x+2 y+3 z=0\right}$ and $\mathcal{L}{2}={(x: y$ :
$\left.z) \in \mathbb{P}^{2}:-2 x-4 y-6 z=0\right}$. If $p=(x: y: z) \in \mathcal{L}{1}$, then $x+2 y+3 z=0$. Multiplying this equation by $-2$ yields $-2 x-4 y-6 z=0$, so $p \in \mathcal{L}{2}$. Conversely, if $p \in \mathcal{L}{2}$, then $-2 x-4 y-6 z=0$. Multiplying by $\frac{1}{2}$ produces $x+2 y+3 z=0$ so $p \in \mathcal{L}{1}$. Therefore $\mathcal{L}{1}=\mathcal{L}{2}$.
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