交换代数，最早被称为理想理论，是代数的一个分支，研究换元环、其理想和这种环上的模块。代数几何和代数理论都建立在换元代数之上。换元环的突出例子包括多项式环；代数整数环，包括普通整数$mathbb{Z}_{;}$和$p$-adic整数。
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交换代数 Commutative algebra代写
换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。
在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公羊化概念。
诺特环 Noetherian ring
在代数中，诺特环是一个其理想是有限生成的环。环的这一属性构成了有限性的类似物，并由埃米-诺特首次研究，他在多项式环上发现了这一属性。
希尔伯特基定理 Hilbert’s basis theorem
在数学中，希尔伯特基础定理是一个换元代数的结果，是研究无极环的基础。它指出，如果$A$是无害的，那么多项式$A[x]$的环仍然是无害的；递归地，这证明了$A/left[x_{1}, ldots, x_{n}right]$以及任何有限生成的$A$代数都是无害环。
准素分解 Primary decomposition
在交换代数中，理想的初等分解是指它被表达为特定类型的理想（初等）的交集；它是一种构造，一方面概括了整数的因子化为素数，另一方面概括了代数集的分解为不可还原的仿射品种。
其他相关科目课程代写：
- 环的局部化 Localization (commutative algebra)
- 完备化 (环论) Completion of a ring
- 扎里斯基拓扑 Zariski topology
- 希尔伯特零点定理 Hilbert’s Nullstellensatz
- 代数整数 Algebraic integer
交换代数 Commutative algebra的研究
这门学科最初被称为理想理论，始于理查德-戴德金关于理想的工作，其本身是基于恩斯特-库默尔和利奥波德-克罗内克的早期工作。后来，大卫-希尔伯特引入了环这一术语，以概括早期的数环。希尔伯特引入了一种更抽象的方法，以取代基于复数分析和经典不变理论的更具体和面向计算的方法。反过来，希尔伯特也强烈地影响了埃米-诺特，他用一个升链条件（现在称为诺特条件）来重塑许多早期的结果。另一个重要的里程碑是希尔伯特的学生伊曼纽尔-拉斯克的工作，他介绍了初级理想，并证明了拉斯克-诺特定理的第一个版本。
The subject, first known as ideal theory, began with Richard Dedekind’s work on ideals, itself based on the earlier work of Ernst Kummer and Leopold Kronecker. Later, David Hilbert introduced the term ring to generalize the earlier term number ring. Hilbert introduced a more abstract approach to replace the more concrete and computationally oriented methods grounded in such things as complex analysis and classical invariant theory. In turn, Hilbert strongly influenced Emmy Noether, who recast many earlier results in terms of an ascending chain condition, now known as the Noetherian condition. Another important milestone was the work of Hilbert’s student Emanuel Lasker, who introduced primary ideals and proved the first version of the Lasker–Noether theorem.
代数几何 algebraic geometry课后作业代写
Let $V$ be an irreducible affine variety, and let $f_{1}, \ldots, f_{r}$ be regular functions on $V$. Every irreducible component $Z$ of $V\left(f_{1}, \ldots f_{r}\right)$ has codimension at most $r$ :
$$
\operatorname{codim}(Z) \leq r
$$
For example, if the $f_{i}$ have no common zero on $V$, so that $V\left(f_{1}, \ldots, f_{r}\right)$ is empty, then there are no irreducible components, and the statement is vacuously true.
Proof. We use induction on $r$. Because $Z$ is a irreducible closed subset of $V\left(f_{1}, \ldots, f_{r-1}\right)$, it is contained in some irreducible component $Z^{\prime}$ of $V\left(f_{1}, \ldots f_{r-1}\right)$. By induction, $\operatorname{codim}\left(Z^{\prime}\right) \leq$ $r-1$. Also $Z$ is an irreducible component of $Z^{\prime} \cap V\left(f_{r}\right)$ because
$$
Z \subset Z^{\prime} \cap V\left(f_{r}\right) \subset V\left(f_{1}, \ldots, f_{r}\right)
$$
and $Z$ is a maximal irreducible closed subset of $V\left(f_{1}, \ldots, f_{r}\right)$. If $f_{r}$ vanishes identically on $Z^{\prime}$, then $Z=Z^{\prime}$ and $\operatorname{codim}(Z)=\operatorname{codim}\left(Z^{\prime}\right) \leq r-1$; otherwise, the theorem shows that $Z$ has codimension 1 in $Z^{\prime}$, and $\operatorname{codim}(Z)=\operatorname{codim}\left(Z^{\prime}\right)+1 \leq r$.
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